Оптимізація фондового портфелю

В країнах Заходу широко практикується розміщення коштів на фондовому ринку, оскільки це більш вигідно, аніж, наприклад, вкладання в нерухомість, що було популярно два десятки років назад. В Україні фондовий ринок почав активно розвиватися тільки з початком приватизації. Сьогодні фондовий ринок, певною мірою, вже сформувався, що дозволяє вести мову про вкладання коштів в цінні папери.

На сучасному фондовому ринку України в обігу є різноманітні цінні папери, але в основному це акції підприємств та облігації внутрішнього займу. З часом ринок цінних паперів розшириться облігаціями, векселями, опціонами та ф'ючерсами.

Кожний цінний папір характеризується доходністю та ризиком. Під ризиком розуміється ймовірність неотримання очікуваного прибутку чи навіть часткову або повну втрату коштів, які вкладені в цінні папери. Ризик та доход різних цінних паперів різні. Як правило, цінні папери, яким притаманні ризик, дають невеликий прибуток, а цінні папери, які можуть дати більший доход, характеризуються більшим ризиком.

Ризик прийнято розділяти на ринковий, тобто єдиний для всіх цінних паперів, який неможливо уникнути, та індивідуальний -притаманний конкретному цінному паперу. Вкладаючи грошові кошти в різні цінні папери, формуючи портфель цінних паперів, можливо практично до нуля знизити індивідуальний ризик: якщо по одним цінним паперам буде низький доход (збиток), то інші це компенсують. Чим більше цінних паперів знаходиться в портфелі, тобто чим більше він диверсифікований, тим менший індивідуальний ризик.

Кожне підприємство, яке бажає розмістити вільні кошти на фондовому ринку, має свою шкалу оцінки ризику та прибутку. Високий прибуток для одного підприємства може здатися низьким для іншого. Якщо одні надають перевагу ризику з низьким прибутком, то інші — погоджуються на великий ризик з очікуванням великого прибутку.

Метою оптимізації портфелю цінних паперів є формування такого портфелю цінних паперів, який би відповідав вимогам підприємств як за прибутками, так і за ризиком, та при цьому достатньою мірою був диверсифікований.

Нехай доходність портфелю з N цінних паперів R_p та його ризикованість s_p визначається функціями:

R_p = RETURN (W_i, s_i, r_i; i = 1K N);
s_p = RISK (W_I, s_i, r_i; i = 1K N),
де:
W_i — процентна частка цінних паперів портфеля;
s_i — деяка характеристика ризику даного цінного паперу, звичайно це середнє квадратичне відхилення доходності цінних паперів;
r_i — доходність цінних паперів.

При розв'язуванні задачі необхідно урахувати наступні натуральні обмеження:

• сума усіх акцій (у відсотках) складає 100%:
  W₁+W₂+K+W_i+K+W_n = 1
• Кількість акцій не може бути від'ємною:
  W_I = 0

Але така задача некоректна, тобто не має однозначного рішення. Ідеальний результат недосяжний, як і все ідеальне.

Виходом з положення є введення критичних обмежень.

Перший варіант — задатися певною максимально допустимою величиною ризику s_req Тоді задача оптимізації зводиться до вибору такої структури портфеля, при якій ризик портфеля не перевищує заданого значення, а доходність портфеля є максимальною. Така задача надалі буде називатися прямою задачею:

Другий варіант — задається певною мінімально допустимою величиною доходності. В цьому випадку задача оптимізації зводиться до вибору такої структури портфеля, прибуток якого вищий або ж дорівнює заданому значенню, а ризик мінімальний:

Розв'язавши пряму і обернену задачі з оптимізації портфеля з N цінних паперів підприємство отримає дані — скільки та які цінні папери необхідно придбати, щоб сформувати портфель, який (по міркам підприємства) має достатньо високу доходність при допустимому ризику.

При спробі розв'язати пряму або обернену задачу виникає запитання: яким чином визначаються характеристики портфеля (доходність та ризик). На сьогоднішній день найбільш розповсюджені 2 моделі визначення характеристик портфеля: модель Марковіца та модель Шарпа. Обидві моделі створені і успішно працюють в умовах, що склалися у відносно стабільних західних фондових ринків. Нажаль, до їх числа український фондовий ринок поки що не входить. Через це була розпочата спроба створити модель, яка здатна успішно функціонувати в умовах фондового ринку, що формується, розвивається та реорганізується, яким є фондовий ринок України. Створена модель отримала назву Квазі-Шарп (була подобна до моделі Шарпа). Кожну модель буде розглянуто окремо.

Модель Марковіца

Модель базується на тому, що показники прибутковості різних цінних паперів взаємопов'язані: із зростанням доходності одних паперів спостерігається одночасне зростання і по іншим паперам, треті залишаються без змін, а в четвертих, навпаки доходність знижується. Такий вид залежності не детермінований, тобто однозначно визначений, а є стохастичним, і називається кореляцією.

Модель Марковіца має наступні основні припущення:

• за доходність цінних паперів приймається математичне очікування доходності;
• за ризик цінних паперів приймається середнє квадратичне відхилення доходності;
• вважається, що дані минулих періодів, які використані при розрахунках доходності і ризику, повністю відображають майбутні значення доходності;
• ступінь і характер взаемозв'язку між цінними паперами виражається коефіцієнтом лінійної кореляції.

де:
N — кількість цінних паперів, які розглядаються;
W_i — процентна частка даного паперу в портфелі;
r_i — доходність даного паперу.

Ризик портфеля цінних паперів визначається функцією:

де:
W_i — процентна частка даних паперів у портфелі;
s_a s_b — ризик даних паперів (середньоквадратичне відхилення)
r_ab — коефіцієнт лінійної кореляції

З використанням моделі Марковіца для розрахунку характеристик портфеля пряма задача набуває вигляд:

Обернена задача розраховується аналогічно:

При застосуванні моделі Марковіца на практиці для оптимізації фондового портфеля використовуються наступні формули:

1) доходність цінних паперів:

де:
T — кількість мину лих спостережень доходності даних цінних паперів;

2) ризик цінного паперу:

3) коефіцієнт кореляції між двома цінними паперами:

де:
r_at, r_bt — доходність цінних паперів а та b в період t

Зрозуміло, що для N цінних паперів необхідно розрахувати N(N-1)/2 коефіцієнтів кореляції.

Проведемо чисельне моделювання оптимізації фондового портфеля, використовуючи модель Марковіца для розрахунку характеристик портфеля. При використанні навіть моделі оптимізації підібрати оптимальний портфель вручну неможливо. У зв'язку з цим була розроблена програма Маrсоviz, яка працює в середовищі електронного процесора Ехсе1.

Доходність цінних паперів складається з курсової різниці, дивідендних платежів, купонних платежів, дисконта тощо. В умовах сучасного фондового ринку України розраховувати на дивіденди поки що рано. Через це за доходність цінних паперів приймається відносна курсова різниця.

Як вихідні дані для моделювання використані тижневі котирування акцій шести підприємств України протягом визначеного періоду. В таблиці 1 представлені дані про доходність акцій у розглянутий проміжок часу, беручи до уваги, що доходність дорівнює відносному зростанню котирувань.

Використовуючи дані, в табл.1 розраховані доходність (математичне очікування) та ризик (середньоквадратичне відхилення) кожного цінного паперу. Результати розрахунку доходності та ризику цінних паперів представлені в табл. 2. В табл. 3 розраховані коефіціенти лінійноі кореляціі між доходністю цінних паперів.

Модель Шарп

На відміну від моделі Марковіца, яка розглядає взаємозв'язок доходності цінних паперів, модель Шарпа розглядає взаємозв'язок доходності кожного цінного папера з доходністю ринку в цілому.

Основні припущення моделі Шарпа:

• як доходність цінного папера береться математичне очікування доходності;
• існує деяка безризикова ставка доходності R_f, тобто доходність якогось цінного папера, ризик якого завжди мінімальний у порівнянні з іншими цінними паперами;
• взаємозв'язок відхилень доходності цінного папера від безризикової ставки доходності (далі відхилення доходності цінного папера) з відхиленням доходності ринку в цілому від безризиковоі ставки доходності (далі: відхилення доходності ринку) описується функцією лінійної регресії;
• під ризиком цінного папера слід розуміти ступінь залежності змін доходності цінного папера від змін доходності ринку в цілому;
• вважається, що дані минулих періодів, які використовуються при розрахунку доходності та ризику, відображають повною мірою майбутні значення доходності.

(r_i — R_f) = a + b(R_m — R_f) (1)
де:
(r_i — R_f) — відхилення доходності цінного папера від безризикового;
(R_m — R_f) — відхилення доходності ринку від безризикового;
a, b — коефіцієнти регресії.

Виходячи з формули (1), можна по прогнозованій доходності ринку цінних паперів у цілому розрахувати доходність будь-якого цінного папера, що його складає:

R_i = R_f + a_i + b_i(R_m — R_f) (2)
де:
a_i, b_i — коефіцієнти регресії, що характеризують даний цінний папір.

Теоретично, якщо ринок цінних паперів перебуває у рівновазі, то коефіцієнт a_i дорівнюватиме нулю. Але оскільки на практиці ринок завжди розбалансований, то a_i. показує надлишкову доходність даного цінного папера (позитивну чи негативну), тобто наскільки даний цінний папір переоцінюється або недооцінюється інвесторами.

Коефіцієнт b називають b-ризиком, оскільки він характеризує ступінь залежності відхилень доходності цінного папера від відхилень доходності ринку в цілому. Основні переваги моделі Шарпа — математично обгрунтована взаємозалежність доходності та ризику: чим більший b-ризик, тим вища доходність цінного папера.

Крім того, модель Шарпа має особливість: існує небезпека, що оцінюване відхилення доходності цінного папера не належатиме побудованій лінії регресії. Цей ризик називають залишковим ризиком. Залишковий ризик характеризує ступінь розбросу значень відхилень доходності цінного папера навколо лінії регресії. Залишковий ризик визначають як середньоквадратичну відстань від точок доходності цінного папера до лінії регресії. Залишковий ризик і-го цінного папера позначають s_ei.

Іншими словами, ризикованість вкладення коштів у даний цінний папір визначається b-ризиком і залишковим ризиком s_ei.

За моделлю Шарпа доходність портфеля цінних паперів — це середньозважена доходність цінних паперів, що його складають, з урахуванням b-ризику цінних паперів. Доходність портфеля визначається за формулою:

(3)
де:
R_f — безризикова доходністъ;
R_m — очікувана доходність ринку в цілому.

Ризик портфеля цінних паперів може бути знайдений за допомогою оцінки середнього квадратичного відхиления функціі (3), і визначається за формулою:

(4)
де:
s_m — середньоквадратичне відхилення доходності ринку в цілому, тобто ризикованість ринку в цілому;
b_i, s_ei — b-ризик і залишковий ризик і-го цінного папера.

При використанні моделі Шарпа для розрахунку характеристик портфеля пряма задача набуває вигляду:

(5)

Зворотня задача виглядає аналогічним чином:

(6)

При практичному застосуванні моделі Шарпа для оптимізації фондового портфеля використовуються наступні припущення та формули.

1. Звичайно як безризикову ставку доходності R_f беруть доходність державних цінних паперів, наприклад, облігацій внутрішньої державної позики.
2. Як доходність ринку цінних паперів в цілому в період t використовуються експертні оцінки ринковоі доходності від аналогічних компаній, із засобів масової інформащі та ін. В умовах розвинутого фондового ринку для цих цілей прийнято використовувати будь-які фондові індекси. Для не дуже великого за кількістю цінних паперів фондового ринку береться середнє значення доходності цінних паперів, що складають ринок, за цей же період t:
   (7)
   де:
   r_mt — доходність ринку цінних паперів у період t
   r_it — доходність i-го цінного папера за період t.
3. b — ризик і-го цінного папера обраховується за формулою:
   (8)
   де:
   b_V —
   b-ризик і-го цінного папера
   R_ft — безризикова доходность у період t
   T — кількість періодів часу, що розглядається.
4. Надлишкова доходність цінного папера обраховується за формулою:
   (9)
5. Залишковий ризик цінного паперу має наступний вигляд:
   (10)
6. Ризик ринку цінних паперів у цілому визначається за формулою:
   (11)

Вихідні дані для розрахунку (доходність цінних паперів) залишаються без змін (див. табл. 1). Крім того, модель Шарпа передбачає використання доходності ринку в цілому та безризикової доходності. Доходність ринку в цілому приймалась на основі експертних оцінок, через відсутність даних із зовнішніх джерел. За безризикову доходність бралася приведена до тижневого терміну доходність тримісячних державних короткострокових облігацій. Дані про доходність ринку в цілому і про безризикову доходність наведено у табл. 5.

На основі даних табл. 1 та табл. 5 розраховані характеристики кожного цінного папера: b-ризик, надлишкова доходність та залишковий ризик. Результати розрахунку представлені у табл. 6. Обробка вихідних даних була проведена за допомогою програми Sharp. При числовому моделюванні були задані необхідна доходність портфеля 4%, допустимий ризик портфеля 8%, прогнозована безризикова доходність 1%, очікувана доходність фондового ринку 3,5%.

Користуючись вбудованою функцією табличного процесора Ехсеl "пошук рішення", розв'язані пряма і зворотня задачі з оптимізації фондового портфеля. Опрацювавши дані, програма обрахувала оптимальні структури фондового портфеля з розглянутих цінних паперів, що забезпечують максимально можливу доходність при заданому рівні ризику (пряма задача) або мінімально можливий ризик при заданій доходності (зворотня задача). Одержані результата наведено в табл. 7.

Основний недолік моделі — необхідність прогнозувати доходність фондового ринку та безризикову ставку доходності. Модель не враховуе ризик коливань безризикової доходності. Крім того, при значній зміні співвідношення між безризиковою доходністю та доходністю фондового ринку модель дає похибки. Таким чином, модель Шарпа може застосовуватися при розгляді великої кількості цінних паперів, що описують велику частку відносно стабільного фондового ринку.

Ризик ринку цінних паперів в цілому дорівнює 2,36%.

Модель Квазі-Шарпa

Як зазначалося раніше, модель Марковіца та Шарпа були створені та успішно працюють в умовах західних фондових ринків, яким притаманні стабільність і порівняна прогнозованість. У країнах з перехідною економікою фондові ринки перебуваютъ на етапі становления і розвитку. Відбувається постійна реорганізація. Фондовий ринок України не є винятком. У таких умовах застосування моделей Марковіца і Шарпа приводить до похибок, пов'язаних із нестабільністю котирування цінних паперів та фондового ринку в цілому.

З огляду на це авторами зроблено спробу розробити нову модель розрахунку характеристик фондового портфеля, яка може ефективно працювати в умовах сучасного фондового ринку України. Модель одержала назву Квазі-Шарп, оскільки деякими своїми рисами подібна до моделі Шарпа. Репрезентуємо модель Квазі-Шарп на суд читачів.

Модель Квазі-Шарп грунтується на взаємозв'язку доходності кожного цінного папера з деякого набору N цінних паперів з доходністю одиничного портфеля з цих паперів.

Основні припущення моделі Квазі-Шарп полягають у наступному:

• за характеристику доходності цінного папера береться математичне очікування доходності;
• під одиничним портфелем цінних паперів слід розуміти портфель, що складається з усіх цінних паперів, що розглядаються, взятих у рівній пропорції;
• взаємозв'язок доходності цінного папера і доходності одиничного портфелю описується лінійною функцією
• під ризиком цінного папера слід розуміти ступінь залежності змін доходності цінного папера від змін доходності одиничного портфеля;
• вважається, що дані минулих періодів, використані при розрахунку доходності та ризику, відображають повною мірою майбутнє значення доходності.

де:
R_i — доходність цінного паперу;
R_sp — доходність одиничного портфеля;
b_і — коефіцієнт регресії;
¯R — середня доходністъ цінного папера за минулі періоди;
¯R_sp — середня доходність одиничного портфеля за минулі періоди.

Коефіціент b характсризує ступінь залежності доходності цінного папера від доходності одиничного портфеля. Чим вищий b, тим сильніше залежить доходність цінного папера від коливань доходності одиничного портфеля, тобто від коливань доходності решти цінних паперів, що входять в одиничний портфель. Коефіцієнт b називають b-ризиком, ало його трактування має відміну від трактування однойменного показника в моделі Шарпа.

Як і в моделі Шарпа, в моделі Квазі-Шарп існує ризик того, що поцінована доходність цінного папера не належатиме вибудованій лінії регресії. Цей ризик називається залишковим ризиком. Залишковий ризик характеризує ступінь розбросу значень доходності цінного папера навколо лінії регресії. Залишковий ризик і-го цінного папера позначають b_ei.

Загальний ризик вкладень у даний цінний папір складається з b-ризику, тобто ризику зниження доходності при падінні доходності одиничного портфеля, і залишкового ризику b_ei, тобто ризику зниження доходності при падінні доходності одиничного портфеля і залишкового ризику b_ei, тобто ризику зниження доходності і невідповідності лініі регресії.

За моделлю Квазі-Шарп доходність портфеля цінних паперів — це середньозважена доходностей цінних паперів, що його складають:

де:
R_sp — очікувана доходність одиничного портфеля.

Ризик портфеля цінних паперів внзначається за формулою:

де:
s_sp — ризикованість одиничного портфеля.

З використанням моделі Квазі-Шарп для розрахунку характеристик портфеля пряма задача набуває вигляду:

Відповідно, зворотня задача має наступне кінцеве зображення:

При практичному застосуванні моделі Квазі-Шарп для оптимізації фондового портфеля використовуються наступні формули:

1. За доходність одиничного портфеля у період t береться середнє значення доходності цінних паперів, що його складають, за цей же період:
   
   де:
   R_sp^t — доходність одиничного портфеля в період t
   R_i^t — доходність i-го цінного папера за період t.
2. Середня доходність цінного папера за минулі періоди:
   
   де:
   R_i^t — доходність цінного папера за період t,
   T — кількість періодів часу, що розглядається.
3. Середня доходність одиничного портфеля за минулі періоди:
   
4. Коефіцієнт b цінного папера розраховується за формулою:
   
5. Залишковий ризик цінного паперу:
   
6. Ризикованість одиничного портфеля:
   

Вихідні дані для розрахунку (доходність цінних паперів) залишаються без змін (див. табл.1).

На основі даних табл. 1 розраховано характеристики кожного цінного папера (коефіцієнт b, середня доходність і залишковий ризик), а також доходність та ризик одиничного портфеля. Результат розрахунку характеристик цінних паперів показано у табл. 8. Доходність одиничного портфеля і його ризик показано у табл. 9. Обробка вихідних даних була проведена з допомогою програми Qsharp . При числовому моделюванні було задано необхідну доходність портфеля 4%, допустимий ризик портфеля 8%, очікувану доходність одиничного портфеля 3%.

Користуючись вбудованою функцією табличного процесора Ехсеl "пошук рішення", розв'язані пряма і зворотня задачі по оптимізаціі фондового портфеля. Опрацювавши дані, програма обрахувала оптимальні структури фондового портфеля з паперів, що розглядаються, які забезпечують максимально можливу доходність при заданому рівні ризику (пряма задача) або мінімально можливий ризик при заданій доходності (зворотня задача). Одержані результати наведено у табл.10.

Модель Квазі-Шарп раціонально застосовувати при розгляді порівняно невеликої кількості цінних паперів, що належать одній або кільком галузям. З допомогою її добре підтримувати оптимальну структуру вже існуючого портфеля. Основний недолік моделі — розглядається окремий сегмент фондового ринку, без урахування глобальних тенденцій.

На завершения порівняємо структури фондових портфелів, одержані при оптимізації за моделями Марковіца, Шарпа та Квазі-Шарп. Розв'язання прямої задачі з використанням різних моделей розрахунку характеристик фондового портфеля наведено у табл. 11. Розв'язання зворотноі задачі наведено у табл. 12.

На сучасному етапі розвитку фондового ринку України при оптимізаціі фондового портфеля можна користуватися моделями Марковіца, Шарпа та Квазі-Шарп. Застосування комп'ютерної техніки для обробки даних (зокрема, програм Markoviz, Sharp та Qsharp) значно полегшує та прискорює процес оптимізації, дозволяє моделювати різні сценарії розвитку подій.

Модель Марковіца раціонально використати при стабільному стані фондового ринку, коли бажано сформувати портфель з цінних паперів різного характеру, що належать різним галузям. Основний недолік моделі — очікувана доходність цінних паперів приймається рівній середньої доходності за даними минулих періодів.

Модель Шарпа застосовується в осповному при розгляді великої кількості цінних паперів, що описують велику частину фондового ринку. Основний недолік моделі — необхідність прогнозувати доходність фондового ринку та безризикову ставку доходності. Не враховується ризик коливань безризиковоі доходності. Крім того, при значній зміні співвідношення між безризиковою доходністю та доходністю фондового ринку модель дає похибки.

Модель Квазі-Шарп раціонально застосовувати при розгляді порівняно невеликої кількості цінних паперів, що належать до однієї чи кількох галузей. З допомогою її добре підтримувати оптимальну структуру вже існуючого портфеля. Основний недолік моделі — розглядається окремий сегмент фондового ринку, на якому працює агент фондового ринку, без урахування глобальних тенденцій.